離散数学
授業科目区分
専門科目
専門科目 数学教育コース
まちラボ・わくらぼ：使用しない
選択科目 2単位 4年次 前期
教職課程（数学）選択.
担当教員
安東 雅訓
学習教育の目標
組合せ論的なモデルと母関数との対応を付けることができる.
授業の簡単な概要
母関数と呼ばれる数学上の道具を用いて， グラフ理論， 整数の分割を中心とした離散数学を学ぶ.
この科目のキーワード
グラフ理論， 母関数， 整数の分割
履修もしくは取得していなければいけない科目
集合論入門
履修に必要な予備知識や技能
集合論とマクロ―リン展開の知識を仮定する.
その他この科目を履修するために必要な条件
特になし
学習支援
自主的なレポートも受け付ける.
オフィスアワー
時間割決定後に授業等で連絡します。
学習内容
- 二項係数：高校数学において「数える」ための基本的な道具であった二項係数を復習する.
- カタラン数：カタラン数を表す複数の例を比べ， 全単射法により個数の一致を「一般に」示す方法を学ぶ.
- 母関数(1)：母関数を定義し， 数列や組合せ論モデルから母関数を構成する方法を学ぶ.
- 母関数(2)：カタラン数， フィボナッチ数を例に数列の漸化式から母関数を構成する方法を学ぶ.
- オイラー標数：「標識グラフ」を定義し， 点と辺と面の個数に関するオイラーの公式を証明する.
- 木：最も基本的なグラフである「木」を定義し， その性質を学ぶ.
- 完全グラフ：完全グラフとその一般化である斉次グラフを定義し， その性質を学ぶ.
- 2部グラフ：2部グラフを定義し， その性質を学ぶ.
- 閉路：オイラー閉路， ハミルトン閉路を定義し， グラフが「一筆書き」できるための必要十分条件を学ぶ.
- ピックの定理：グラフ理論の応用として， 格子点を頂点とする多角形の面積公式であるピックの定理を証明する.
- 整数の分割：整数の分割と分割数を定義し， その母関数の考え方を学ぶ.
- ヤング図形：整数の分割のヤング図形を定義し， 標準盤等の組合せ論モデルを紹介する.
- オイラーのOdd-Strict 定理：代表的な分割恒等式であるオイラーのOdd-Strict 定理を紹介し， 母関数， 全単射法の二通りの証明を行う.
- オイラーの五角数定理：オイラーの五角数定理を全単射法を用いて証明し， これを用いて分割数を帰納的に計算する方法を紹介する.
- 再びカタラン数：グラフ， 整数の分割における， カタラン数を表す組合せ論モデルを紹介する.
教科書
特になし
参考書
レオンハルト オイラー/オイラーの無限解析 海鳴社
Ｇ. アンドリュース， K. エリクソン/整数の分割 数学書房
田澤新成/グラフの数え上げ〜母関数を礎にして 共立出版
NDC
412
科目分類コード
4705102
達成度評価（評価方法：合計100点）
試験： 50 / 100
レポート： / 100
小テスト(中間テストなど含む): / 100
小レポート(中間レポートなどを含む): 50 / 100
作品： / 100
ポートフォリオ： / 100
その他：