講義概要（代数学I）

代数学I
Algebra I

授業科目区分

専門科目
専門科目　数学教育コース

まちラボとわくらぼの使用について：使用しない
選択科目　2単位　3年次　前期

教職課程(数学)必修

担当教員

陶山　大輔

研究室のホームページ,SNSなど

NDC

411

科目分類コード

11010

オフィスアワー

この科目のキーワード

群, 準同型写像, 有限アーベル群の基本定理

説明に使用する言語

主として日本語を使用する

使用する教材の言語

日本語で記述された資料を使用する

この科目に必要な日本の文化・事情の知識について

到達目標

定義の内容を理解し抽象的な概念を扱うことができる

授業の簡単な概要

群と呼ばれる代数系を定義し，その性質を学ぶ.

学習内容

代数系：集合と２項演算が与えられたときに注目するべき主な性質を挙げる. ２項演算の例を見る.
群の定義：群を定義し，与えられた例が群であるかどうかの証明の例を見る.
対称群：代表的な群のうち対称群について定義し性質を調べる.
正多面体群，加群：代表的な群のうち正多面体群，加群について定義し性質を調べる.
部分群：部分群の定義を行い，例を見る. また部分群であることの使いやすい同値条件も紹介する.
部分群による類別：部分群を法としての元の合同が同値関係となることを示し，これを用いて元の群を類別する方法を学ぶ.
ラグランジュの定理：ラグランジュの定理を証明する. フェルマーの小定理との関連についても見る.
正規部分群：正規部分群の定義を行い，例と証明方法を見る.
剰余群：正規部分群による類別が群をなすことを示す.
群準同型：準同型写像を定義し，例と証明方法を見る.
準同型定理(1)：準同型定理の証明を行う.
準同型定理(2)：準同型定理を用いて群の同型を示す例を見る.
加群の準同型写像：準同型写像のなす群について調べる.
群の直積：直積群を定義し例を見る
有限アーベル群：有限アーベル群の基本定理を，有限群の場合に（より一般に有限生成の場合で成立するが，）証明する.

授業時間外での学修

授業の後半に行う演習問題について, 大問毎に１題程度は自分で解いてみるとよい.

成績評価の基準と方法

・ある集合と演算の組が群であることを定義に基づいて判定することができる.
・群の同型を準同型定理を用いて証明することができる.
・与えられた有限ア―ベル群を巡回部分群の直積に分解することができる.

達成度評価（評価方法：合計100点）

試験：　　　　　 80 / 100
レポート：　　　 / 100
小テスト(中間テストなど含む): / 100
小レポート(中間レポートなどを含む): / 100
作品：　　　　　 / 100
ポートフォリオ： / 100
その他：

講義中に行う演習問題の発表を評価に加点する. （20）

教科書・テキスト

桂利行／代数学I 群と環　東京大学出版会，

参考図書・参考文献等

国吉秀夫/群論入門　サイエンス社

履修もしくは取得していなければいけない科目

集合論入門，

学習支援

授業で出したもの以外の自主的なレポートも受け付ける.

その他この科目を履修するために必要な条件

集合論入門で扱った論理や写像の知識は，講義を進めるにも問題を解くにも必須となる. 不安があれば必ず復習すること.

代数学I Algebra I