代数学II
Algebra II

授業科目区分

専門科目
専門科目　数学教育コース

まちラボとわくらぼの使用について：使用しない
選択科目　2単位　3年次　後期

教職課程(数学)選択

担当教員

陶山　大輔

研究室のホームページ,SNSなど

NDC

411

科目分類コード

11010

オフィスアワー

この科目のキーワード

環, 多項式の因数分解, 中国式剰余定理

説明に使用する言語

主として日本語を使用する

使用する教材の言語

日本語で記述された資料を使用する

この科目に必要な日本の文化・事情の知識について

到達目標

抽象的な定義と具体例の間の対応をつけることができる.

授業の簡単な概要

環と呼ばれる代数系を定義し， 主に可換環， 多項式環についてその性質を学ぶ.

学習内容

1. 環：環の定義を行い，例を挙げて環であるかどうかの証明を行う.
2. 整域：整域の定義を行い性質を見る.
3. 多項式環：多項式環の定義を行い性質を見る.
4. 因数定理：因数定理の証明を行い， 使い方の例を見る.
5. 環の生成：環の部分集合によって生成される環を定義する.
6. 環準同型：環準同型写像を定義し， その性質を調べる.
7. イデアル：環のイデアルを定義し， 例を挙げてイデアルであることの証明を行う.
8. 剰余環：イデアルの性質を調べ， イデアルによる剰余環を定義する.
9. 環準同型定理：環準同型定理の証明を行う.
10. 極大イデアルと素イデアル：極大イデアルと素イデアルを定義し， 性質を調べる.
11. 中国式剰余定理：中国式剰余定理を証明し， 具体的な使い方を学ぶ.
12. 一意分解整域：単元， 倍元の定義を行い， 一意分解整域を定義する.
13. ガウスの補題：ガウスの補題の証明を行う. また， 商体を定義する.
14. アイゼンシュタインの既約判定法：アイゼンシュタインの既約判定法を証明し， 具体的な使い方を学ぶ
15. まとめ：本講義のまとめを行う.

授業時間外での学修

授業の後半に行う演習問題について, 大問毎に１題程度は自分で解いてみることを勧める.

成績評価の基準と方法

・環の同型を準同型定理を用いて証明することができる.
・一般の環の元を係数とする多項式の因数分解を行うことができる.
・105減算に類する問題を解くことができる.

達成度評価（評価方法：合計100点）

試験：　　　　　 80 / 100
レポート：　　　 / 100
小テスト(中間テストなど含む): / 100
小レポート(中間レポートなどを含む): / 100
作品：　　　　　 / 100
ポートフォリオ： / 100
その他：

講義中に行う演習発表と質疑応答の内容に応じて評価に加点する. （20）

教科書・テキスト

桂利行/代数学I 群と環　東京大学出版会

参考図書・参考文献等

酒井文雄/環と体の理論　共立出版， 松坂和夫/代数系入門　岩波書店

履修もしくは取得していなければいけない科目

集合論入門， 代数学I

学習支援

講義で課したもの以外の自主的なレポートも受け付ける.

その他この科目を履修するために必要な条件

特になし